微分積分例

$\int_{- 8}^{0} x e^{x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} e^{x} d x$

ステップ 2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$0$ および $- 8$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

ステップ 3.2

$0$ および $- 8$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

ステップ 3.3.2

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

ステップ 3.3.3

$0$ と $8 e^{- 8}$ をたし算します。

$8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

ステップ 3.3.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$8 \frac{1}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

ステップ 4.2

$8$ と $\frac{1}{e^{8}}$ をまとめます。

$\frac{8}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 \cdot 1 - - e^{- 8}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 - - e^{- 8}$

ステップ 4.5

$- - e^{- 8}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + 1 e^{- 8}$

ステップ 4.5.2

$e^{- 8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

10進法形式：

$- 0.99698083 \dots$

ステップ 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$