微分積分例

$\int_{- 8}^{8} 8 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{- 8}^{8} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {(- 8)}^{2}$

ステップ 2.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 64$

ステップ 2.4

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8^{2}$

ステップ 2.5

$8$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 64$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 64$

ステップ 2.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ と $e^{- {u_{1}}^{2}}$ をまとめます。

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- {u_{1}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u_{1})$

ステップ 6.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 u_{1}$

ステップ 6.2

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 64^{2}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$64$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = - 1 \cdot 4096$

ステップ 6.3.2

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$u_{lower} = - 4096$

ステップ 6.4

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 64^{2}$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$64$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 4096$

ステップ 6.5.2

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$u_{upper} = - 4096$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 4096$

$u_{upper} = - 4096$

ステップ 6.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (\frac{1}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- 2 (e^{u_{2}}]_{- 4096}^{- 4096})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$- 4096$ および $- 4096$ で $e^{u_{2}}$ の値を求めます。

$- 2 ((e^{- 4096}) - e^{- 4096})$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$e^{- 4096}$ から $e^{- 4096}$ を引きます。

$- 2 \cdot 0$

ステップ 13.2.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例