微分積分例

$\int 8 \cos^{3} (2 x) d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \cos^{3} (2 x) d x$

ステップ 2

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\cos^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$\cos^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$4 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (u_{1})$ を $1 - \sin^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$4 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

ステップ 8.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$4 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 11

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$4 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

ステップ 13

簡約します。

$4 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (u_{1})$ で置き換えます。

$4 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

ステップ 14.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$4 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例