微分積分例

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \sqrt{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

ステップ 1.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 6

簡約します。

$10 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例