微分積分例

$\int_{4}^{9} 2 x \sqrt{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{4}^{9} 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{4}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{4}^{9})$

ステップ 4.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9$ および $4$ で $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.3.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{2 \cdot 3^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.4

$3$ を $5$ 乗します。

$2 (\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.5

$2$ に $243$ をかけます。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 4.2.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

ステップ 4.2.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.8.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

ステップ 4.2.2.8.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{5}}{5})$

ステップ 4.2.2.9

$2$ を $5$ 乗します。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 32}{5})$

ステップ 4.2.2.10

$2$ に $32$ をかけます。

$2 (\frac{486}{5} - \frac{64}{5})$

ステップ 4.2.2.11

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{486 - 64}{5}$

ステップ 4.2.2.12

$486$ から $64$ を引きます。

$2 (\frac{422}{5})$

ステップ 4.2.2.13

$2$ と $\frac{422}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 422}{5}$

ステップ 4.2.2.14

$2$ に $422$ をかけます。

$\frac{844}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{844}{5}$

10進法形式：

$168.8$

帯分数形：

$168 \frac{4}{5}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例