微分積分例

$\int 4 e^{2 x} + \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 3

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 6.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (e^{u} + C) + \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (e^{u} + C) + \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 8.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$2 (e^{u} + C) + \int x^{- 5} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$2 (e^{u} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$2 e^{u} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$2 e^{u} - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

ステップ 10.2.2

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 e^{u} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 e^{2 x} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

微分積分 例

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