微分積分例

$\int 4 x \sqrt{x - 1} d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x \sqrt{x - 1} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = \sqrt{x - 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (x (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (x \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

ステップ 4

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x))$

ステップ 5

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

ステップ 7

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ステップ 7.1

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

ステップ 7.2

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ を $4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

ステップ 7.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

ステップ 7.3.2.2

$3$ に $5$ をかけます。

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

ステップ 7.3.3

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.3.4

$5$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 7.3.5

$4$ と $\frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ をまとめます。

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 9

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 9.2

$10$ に $4$ をかけます。

$\frac{40 (x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

ステップ 9.3

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例