微分積分例

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

ステップ 2

$\tan^{2} (x)$ を因数分解します。

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

ステップ 7

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

ステップ 8

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 8.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 12.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 12.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 12.4.2

共通因数を約分します。

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 12.4.3

式を書き換えます。

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$

微分積分 例

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