微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

ステップ 1.1.1.2.3

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.2.5

$x$ を $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

ステップ 1.1.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

ステップ 1.1.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.1.1.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

ステップ 1.1.1.3.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x - 2)}^{2}$ です。

$\frac{(x - 1) (x + 4) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x + 4) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.5.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) (x + 4) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.5.2

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x + 4) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.5.2.2

$(x - 1) (x + 4)$ を $1$ で割ります。

$(x - 1) (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 4) - 1 (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 4 - 1 (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.6.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x^{2} + 4 x - x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.7.2

$4 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} + 3 x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 3 x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.1.2

$A ({(x - 2)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 3 x - 4 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.2

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.4.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.5

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.6.2

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.7

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.7.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.7.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.8

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.1

$x - 2$ を $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ で因数分解します。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

ステップ 1.1.8.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.8.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.1.8.8.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.1.8.8.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

ステップ 1.1.8.8.2.4

$C (x (x - 2))$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

ステップ 1.1.8.9

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

ステップ 1.1.8.10

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

ステップ 1.1.8.11

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

ステップ 1.1.8.12

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

ステップ 1.1.8.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$A$ を移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.1.9.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

ステップ 1.1.9.3

$4 A$ を移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

ステップ 1.1.9.4

$B x$ を移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

ステップ 1.1.9.5

$- 4 x A$ を移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 4 = 4 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$- 4 = 4 A$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$- 4 = 4 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 4 = 4 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $4 A = - 4$ として書き換えます。

$4 A = - 4$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.1.2

$4 A = - 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$4 A = - 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1

$- 4$ を $4$ で割ります。

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$1 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

ステップ 1.3.2.3

$3 = - 4 A + B - 2 C$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$3 = - 4 \cdot - 1 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

ステップ 1.3.3

$1 = - 1 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 1 + C = 1$ として書き換えます。

$- 1 + C = 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

ステップ 1.3.3.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$C = 1 + 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

ステップ 1.3.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

ステップ 1.3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$3 = 4 + B - 2 C$ の $C$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$3 = 4 + B - 2 \cdot 2$

$C = 2$

$A = - 1$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$4 + B - 2 \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$3 = 4 + B - 4$

$C = 2$

$A = - 1$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$4 + B - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$3 = B + 0$

$C = 2$

$A = - 1$

ステップ 1.3.4.2.1.2.2

$B$ と $0$ をたし算します。

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

ステップ 1.3.5

方程式を $B = 3$ として書き換えます。

$B = 3$

$C = 2$

$A = - 1$

ステップ 1.3.6

連立方程式を解きます。

$B = 3 C = 2 A = - 1$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$B = 3, C = 2, A = - 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{2}{x - 2}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 6

$u_{1} = x - 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 6.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 7.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 10

$u_{2} = x - 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u_{2} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 10.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$- \ln (| x |) - \frac{3}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$- \ln (| x |) - \frac{3}{x - 2} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$- \ln (| x |) - \frac{3}{x - 2} + 2 \ln (| x - 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例