微分積分例

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

ステップ 1.1.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

ステップ 1.1.3

$1$ を掛けます。

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

ステップ 1.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

ステップ 1.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

ステップ 1.3

$x^{2} {(x - 1)}^{2}$ を ${(x (x - 1))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

ステップ 1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int x (x - 1) d x$

ステップ 1.5

分配則を当てはめます。

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

ステップ 1.6

$x$ に $x$ をかけます。

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

ステップ 1.7

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

ステップ 1.8

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\int x^{2} - x d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 6

簡約します。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例