微分積分例

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

ステップ 1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

ステップ 1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

ステップ 1.4

$\sin (x)$ と $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

ステップ 1.5

$\cos (x)$ を $\cos^{8} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

ステップ 1.6

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

ステップ 1.8

$\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

ステップ 1.9

$\cos (x)$ を $\cos^{7} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

ステップ 1.10

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.11

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.12

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.13.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.14

$\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.14.1

$\tan (x)$ と $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

ステップ 1.14.2

$\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

ステップ 1.15

$\cos (x)$ を $\cos^{6} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

ステップ 1.16

分数を分解します。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.17

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

ステップ 1.18

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.19

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ステップ 1.19.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

ステップ 1.19.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.20

$\cos (x)$ を $\cos^{5} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.21

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.22

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.23

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24

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ステップ 1.24.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.24.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

ステップ 1.25

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.25.1

$\sec (x)$ を移動させます。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

ステップ 1.25.2

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 1.25.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

ステップ 1.25.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

ステップ 1.25.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.26

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ と $\sec^{3} (x)$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

ステップ 1.27

$\cos^{3} (x)$ を $\cos^{4} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

ステップ 1.28

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

ステップ 1.29

$3$ と $3$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.30

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.31

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{6} (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.31.1

$\sec (x)$ に $\sec^{6} (x)$ をかけます。

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ステップ 1.31.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.31.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

ステップ 1.31.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

ステップ 2

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{6} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

微分積分 例

微分積分例