微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

ステップ 1

$u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 + \tan (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 + \tan (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $2 \sec^{2} (2 x)$ をたし算します。

$2 \sec^{2} (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

ステップ 1.3.1.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 3 + 0$

ステップ 1.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 1.4

$u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

ステップ 1.5.1.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

ステップ 1.5.1.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

ステップ 1.5.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 3 + 1$

ステップ 1.5.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

ステップ 5

$4$ および $3$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

10進法形式：

$0.14384103 \dots$

微分積分 例

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