微分積分例

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 2

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 2.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 2.2

$u = π x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot 0$

ステップ 2.3

$π$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = π x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π \cdot 2$

ステップ 2.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 5

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

ステップ 10

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$2 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

ステップ 13.2

$2$ および $0$ で $\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

ステップ 13.3

$2$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4

簡約します。

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ステップ 13.4.1

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.2

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.4

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.4.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.4.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.6

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.8

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.8.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

ステップ 13.4.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

ステップ 13.4.10

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.10.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

ステップ 13.4.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

ステップ 13.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

ステップ 13.4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

ステップ 13.4.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

ステップ 13.4.11

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

ステップ 13.4.12

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

ステップ 13.4.13

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

ステップ 13.4.14

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

ステップ 13.4.15

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

ステップ 14

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

ステップ 15.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

ステップ 15.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

ステップ 15.4

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

ステップ 15.5

$\frac{1}{π}$ に $0$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 15.6

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

微分積分 例

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