微分積分例

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

ステップ 1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = 3^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$3^{- x}$ と $\frac{1}{\ln (3)}$ をまとめます。

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ をまとめます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

ステップ 3.3

$3^{- x}$ と $\frac{1}{\ln (3)}$ をまとめます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

ステップ 5.2

$\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ に $1$ をかけます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{\ln (3)}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (3)}$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

ステップ 7

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 7.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

ステップ 7.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = - 3$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

ステップ 9

$3^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ です。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

ステップ 10

$\frac{1}{\ln (3)}$ と $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ をまとめます。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ および $0$ で $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ の値を求めます。

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

ステップ 11.2

$- 3$ および $0$ で $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ の値を求めます。

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.3

$3$ を $3$ 乗します。

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.4

$3$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.5

$3$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.5.2.3

式を書き換えます。

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.6

$\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ を積として書き換えます。

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.7

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{\ln (3)}$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.10

$0$ に $1$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.12

$3$ を $3$ 乗します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.13

$\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ を積として書き換えます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.14

$\frac{1}{27}$ に $\frac{1}{\ln (3)}$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.15

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

ステップ 11.3.16

$\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ に $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

ステップ 11.3.17

まとめる。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.18

分配則を当てはめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.19

$\frac{1}{27 \ln (3)}$ と $27$ をまとめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.20

$\frac{27}{27 \ln (3)}$ と $\ln (3)$ をまとめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.21

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.21.1

共通因数を約分します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.21.2

式を書き換えます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.22

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.22.1

共通因数を約分します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.22.2

式を書き換えます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.23

$- 1$ に $27$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.24

$\frac{1}{\ln (3)}$ と $- 27$ をまとめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.25

$\frac{- 27}{\ln (3)}$ と $\ln (3)$ をまとめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.26

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.26.1

共通因数を約分します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.26.2

$- 27$ を $1$ で割ります。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.27

$1$ から $27$ を引きます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

ステップ 11.3.28

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

ステップ 11.3.29

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

ステップ 11.3.30

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

ステップ 11.3.31

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 11.3.32

分数の前に負数を移動させます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 11.3.33

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 11.3.34

$\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ に $1$ をかけます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 12.2

$- \frac{1}{9 \ln (3)}$ と $0$ をたし算します。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 12.4

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 12.4.2

$- 10$ と $\frac{1}{9 \ln (3)}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 12.5

$10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

$10$ と $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 12.5.2

$10$ に $26$ をかけます。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 12.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

10進法形式：

$6.96711259 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例