微分積分例

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

ステップ 1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

ステップ 2

$u = 5 - 4 \cos (t)$ とします。次に $d u = 4 \sin (t) d t$ すると、 $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 5 - 4 \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5 - 4 \cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $5 - 4 \cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

ステップ 2.1.2.2

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 4 \cos (t)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 2.1.3.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$0 - 4 (- \sin (t))$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$0 + 4 \sin (t)$

ステップ 2.1.4

$0$ と $4 \sin (t)$ をたし算します。

$4 \sin (t)$

ステップ 2.2

$u = 5 - 4 \cos (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 5 - 4$

ステップ 2.3.2

$5$ から $4$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = 5 - 4 \cos (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

ステップ 2.5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.5.1.3

$- 4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

ステップ 2.5.1.3.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u_{upper} = 5 + 4$

ステップ 2.5.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

ステップ 3

$u^{\frac{1}{4}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{4}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ です。

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$9$ および $1$ で $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ の値を求めます。

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{4}{5}$ と $9^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

ステップ 8.2

まとめる。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

ステップ 8.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$- \frac{4}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

ステップ 8.3.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

ステップ 8.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 8.4.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

ステップ 8.5.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

ステップ 8.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

ステップ 8.5.4

$9^{\frac{5}{4}}$ を $1$ で割ります。

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

10進法形式：

$14.58845726 \dots$

微分積分 例

微分積分例