微分積分例

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

ステップ 1

$p$ は $x$ に対して定数なので、 $p$ を積分の外に移動させます。

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

ステップ 2

$u = \ln^{2} (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ と $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ をまとめます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

ステップ 3.2.2

$\ln (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

ステップ 4

$\ln (x^{2})$ を $2 \ln (x)$ に書き換えます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

ステップ 6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

ステップ 7

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

ステップ 8.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$3$ および $1$ で $\ln^{2} (x) x$ の値を求めます。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

ステップ 10.2

$3$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

ステップ 10.3

$3$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

ステップ 10.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1

$3$ を $\ln^{2} (3)$ の左に移動させます。

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

ステップ 10.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

ステップ 10.4.3

$3$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

ステップ 10.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

ステップ 10.4.5

$3$ から $1$ を引きます。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

ステップ 10.4.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

ステップ 11.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

ステップ 11.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

ステップ 11.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

ステップ 11.1.4.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

ステップ 11.1.5

$3 \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

ステップ 11.1.6

分配則を当てはめます。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 11.1.7

$3$ に $- 2$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 11.1.8

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

ステップ 11.2

$3 \ln^{2} (3)$ と $0$ をたし算します。

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

ステップ 11.4

$4$ を $p$ の左に移動させます。

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

ステップ 11.5

$3$ を $p$ の左に移動させます。

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$

微分積分 例

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