微分積分例

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

ステップ 1

$9$ は $r$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

ステップ 2

$u = \ln (r)$ と $d v = r^{3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ と $r^{4}$ をまとめます。

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

ステップ 3.2

$\ln (r)$ と $\frac{r^{4}}{4}$ をまとめます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{4}$ と $r^{4}$ をまとめます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

ステップ 3.4

$\frac{r^{4}}{4}$ に $\frac{1}{r}$ をかけます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

ステップ 3.5

$r^{4}$ と $r$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$r$ を $r^{4}$ で因数分解します。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$r$ を $4 r$ で因数分解します。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $r$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

ステップ 5

べき乗則では、 $r^{3}$ の $r$ に関する積分は $\frac{1}{4} r^{4}$ です。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{1}{4}$ と $r^{4}$ をまとめます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

ステップ 6.1.2

$\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$3$ および $1$ で $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ の値を求めます。

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

ステップ 6.2.2

$3$ および $1$ で $\frac{r^{4}}{4}$ の値を求めます。

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$3$ を $4$ 乗します。

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.2

$81$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.4

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.5

$3$ を $4$ 乗します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.7

公分母の分子をまとめます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.8

$81$ から $1$ を引きます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.9

$80$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.9.1

$4$ を $80$ で因数分解します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

ステップ 6.2.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.9.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

ステップ 6.2.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

ステップ 6.2.3.9.2.3

式を書き換えます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

ステップ 6.2.3.9.2.4

$20$ を $1$ で割ります。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

ステップ 6.2.3.10

$20$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.10.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

ステップ 6.2.3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.10.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

ステップ 6.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

ステップ 6.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

ステップ 6.2.3.10.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

ステップ 6.2.3.11

$- 1$ に $5$ をかけます。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

ステップ 7.3

$81 \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

ステップ 7.5

$9$ に $- 5$ をかけます。

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

ステップ 7.6

$9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$9$ と $\frac{81 \ln (3)}{4}$ をまとめます。

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

ステップ 7.6.2

$81$ に $9$ をかけます。

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

10進法形式：

$155.22208960 \dots$

微分積分 例

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