微分積分例

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

ステップ 1

$\ln (x^{2})$ を $2 \ln (x)$ に書き換えます。

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

ステップ 3

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$e$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

ステップ 6.2

$e$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

ステップ 6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 7.1.2

$e$ に $1$ をかけます。

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 7.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$2 (e - 0 - (e - 1))$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (e + 0 - (e - 1))$

ステップ 7.1.5

分配則を当てはめます。

$2 (e + 0 - e - - 1)$

ステップ 7.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (e + 0 - e + 1)$

ステップ 7.2

$e$ と $0$ をたし算します。

$2 (e - e + 1)$

ステップ 7.3

$e$ から $e$ を引きます。

$2 (0 + 1)$

ステップ 7.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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