微分積分例

$\int \frac{3 \sqrt{x} - 2 x^{2} + 5 x}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x}{\sqrt{x}} d x]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 x^{2} + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}}) + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 2.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (3 - 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 2.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot (3 - 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 3

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x]$

ステップ 4.2

$\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x$ は $3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ の不定積分ですので、定義により $\frac{d}{d x} [\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x]$ は $3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$5 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 3$

微分積分 例

微分積分例