微分積分例

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

ステップ 1.2

$6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ と $\frac{1}{1 + x^{8}}$ をまとめます。

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

ステップ 1.2.2

$x^{3}$ と $\frac{6}{1 + x^{8}}$ をまとめます。

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

ステップ 1.3

$6$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

ステップ 2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

ステップ 3

$x^{8}$ を ${(x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

ステップ 4

$u = x^{4}$ とします。次に $d u = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = x^{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{1 + u^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

ステップ 5.2

$4$ を $1 + u^{2}$ の左に移動させます。

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

ステップ 7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{1}{4}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 7.1.2

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 7.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ の $u$ に関する積分は $\arctan (u) + C$ です。

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$

微分積分 例

微分積分例