微分積分例

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{2}$ と $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

ステップ 5.3

$2$ を $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

ステップ 6

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

ステップ 7.3

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

ステップ 8

$u_{3} = e^{u_{2}}$ とします。次に $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{3} = e^{u_{2}}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$e^{u_{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

ステップ 8.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{2}}$

ステップ 8.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 9

$w = u_{3}$ と $dv = \sin (u_{3})$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 10

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 11.2

$\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ に $1$ をかけます。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 12

$\cos (u_{3})$ の $u_{3}$ に関する積分は $\sin (u_{3})$ です。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

ステップ 13

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ を $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ に書き換えます。

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{3}$ のすべての発生を $e^{u_{2}}$ で置き換えます。

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2}$ で置き換えます。

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

ステップ 14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 15.1.1

共通因数を約分します。

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15.1.2

式を書き換えます。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 15.2.1

共通因数を約分します。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15.2.2

式を書き換えます。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 15.3.1

共通因数を約分します。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

ステップ 15.3.2

式を書き換えます。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

ステップ 15.4

$x$ を $1$ で割ります。

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

ステップ 15.5

$x$ を $1$ で割ります。

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

ステップ 15.6

$x$ を $1$ で割ります。

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$

微分積分 例

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