微分積分例

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

ステップ 2

$- c$ は $x$ に対して定数なので、 $- c$ を積分の外に移動させます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

ステップ 3.2

$c$ に $1$ をかけます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

ステップ 4

$u = - \frac{x}{c}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{c} d x$ すると、 $- c d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - \frac{x}{c}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{x}{c}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{c}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{c}$ の微分係数は $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{c}$

ステップ 4.2

$u = - \frac{x}{c}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $c$ で割ります。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = - \frac{x}{c}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

ステップ 4.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

ステップ 5.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{c}$ で割ります。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

ステップ 5.3

$c$ に $1$ をかけます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

ステップ 6

$- c$ は $u$ に対して定数なので、 $- c$ を積分の外に移動させます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$c$ を $1$ 乗します。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

ステップ 7.2

$c$ を $1$ 乗します。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

ステップ 7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$8$ および $0$ で $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ の値を求めます。

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

ステップ 9.2

$- \frac{8}{c}$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3.3

$c$ に $0$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3.4

$0$ に $e^{- \frac{0}{c}}$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3.5

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ と $0$ をたし算します。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

ステップ 9.3.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

ステップ 9.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

ステップ 10

各項を簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

ステップ 10.2

$- c^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

ステップ 10.2.2

$c^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

ステップ 11

微分積分 例

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