微分積分例

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (4 x)$ とします。次に $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (4 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (4 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\cos (4 x) \cdot 4$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$4 \cos (4 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \sin (4 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{2} = \sin (4 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (4 π)$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = \sin (0)$

ステップ 1.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 2

${u_{2}}^{6}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{6}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ および $0$ で $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{7}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 5.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

ステップ 5.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

ステップ 5.2.5

$0$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

ステップ 5.2.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot 0$

ステップ 5.2.7

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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