微分積分例

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

ステップ 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ が連続関数か確認します。

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ステップ 1.1

関数が $[0, 4]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

ステップ 1.1.2

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{3} \geq 0$

ステップ 1.1.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.1.3.2

方程式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.1.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq 0$

ステップ 1.1.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[0, 4]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ が微分可能か確認します。

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ステップ 2.1

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.8

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.9

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.10

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.11

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 2.1.1.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{\frac{1}{2}}$ です。

$x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2

微分係数が $[0, 4]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.2.1

関数が $[0, 4]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.2.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt{x^{1}}$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\sqrt{x}$

ステップ 2.2.1.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[0, 4]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[0, 4]$ で連続なので、関数は $[0, 4]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[0, 4]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[0, 4]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.8

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.9

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.10

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.11

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

ステップ 4.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

ステップ 6

積分を求めます。

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ステップ 6.1

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 6.1.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 6.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.1.2

$u = 1 + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 6.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 6.1.4

$u = 1 + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 4$

ステップ 6.1.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 6.1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

ステップ 6.1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

ステップ 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6.3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

ステップ 6.4

代入し簡約します。

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ステップ 6.4.1

$5$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.4.2

簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$\frac{2}{3}$ と $5^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.4.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 6.4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

10進法形式：

$6.78689325 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例