微分積分例

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x + h) \cos (x + h)$ を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \sin (x + h)$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\sin (x + h)$ です。

$\sin (x + h)$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

ステップ 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

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ステップ 4.1

正弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ ということが述べられています。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

ステップ 4.2

括弧を削除します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $\sin (x)$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

$\sin (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.4

$\cos (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sin (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8

答えを簡約します。

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ステップ 5.1.2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.8.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8.1.4

$\cos (x)$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8.2

$\sin (x) + 0 - \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.2.8.2.1

$\sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8.2.2

$\sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sin (x)$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $\sin (x) \cos (h)$ の微分係数は $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

$h$ に関する $\cos (h)$ の微分係数は $- \sin (h)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.4.1

$\cos (x)$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $\cos (x) \sin (h)$ の微分係数は $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.2

$h$ に関する $\sin (h)$ の微分係数は $\cos (h)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

$- \sin (x)$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \sin (x)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

簡約します。

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ステップ 5.3.6.1

$\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

ステップ 5.4

$- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

ステップ 6.2

$\sin (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

ステップ 6.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

ステップ 6.4

$\cos (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

ステップ 6.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 7

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

ステップ 7.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

ステップ 8.1.2

$- \sin (x) \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

ステップ 8.1.2.2

$0$ に $\sin (x)$ をかけます。

$0 + \cos (x) \cos (0)$

ステップ 8.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + \cos (x) \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \cos (x)$

ステップ 8.2

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例