微分積分例

$f (x) = x^{5}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ です。

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

ステップ 2.2.2

$x^{3}$ を移動させます。

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

ステップ 2.2.3

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

ステップ 2.2.4

$x$ を移動させます。

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

ステップ 2.2.5

$x^{5}$ を移動させます。

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

ステップ 2.2.6

$5 h x^{4}$ を移動させます。

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

ステップ 2.2.7

$10 h^{2} x^{3}$ を移動させます。

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

ステップ 2.2.8

$10 h^{3} x^{2}$ を移動させます。

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

ステップ 2.2.9

$5 h^{4} x$ と $h^{5}$ を並べ替えます。

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{5}$ から $x^{5}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

ステップ 4.1.2

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

ステップ 4.1.3

$h$ を $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$h$ を $h^{5}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$h$ を $5 h^{4} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$h$ を $10 h^{3} x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

ステップ 4.1.3.4

$h$ を $10 h^{2} x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

ステップ 4.1.3.5

$h$ を $5 h x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.1.3.6

$h$ を $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.1.3.7

$h$ を $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.1.3.8

$h$ を $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.1.3.9

$h$ を $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$h^{3}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

ステップ 4.2.2.2

$h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

ステップ 4.2.2.3

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

ステップ 4.2.2.4

$h^{4}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

ステップ 4.2.2.5

$5 x h^{3}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

ステップ 4.2.2.6

$10 x^{2} h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

ステップ 4.2.2.7

$10 x^{3} h$ と $5 x^{4}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x^{4}$ の極限値を求めます。

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 7

$10 x^{3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 8

$10 x^{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 10

$5 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 11

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $h^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $h^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

ステップ 13

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

ステップ 13.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

ステップ 13.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

ステップ 13.4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$10 x^{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$0$ に $10$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14.1.1.2

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14.1.3

$10 x^{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.3.1

$0$ に $10$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14.1.3.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

ステップ 14.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

ステップ 14.1.5

$5 x \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 14.1.5.1

$0$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

ステップ 14.1.5.2

$0$ に $x$ をかけます。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

ステップ 14.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

ステップ 14.2

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 14.2.1

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

ステップ 14.2.2

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} + 0 + 0$

ステップ 14.2.3

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} + 0$

ステップ 14.2.4

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例