微分積分例

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ で和が $b = - 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.2.1.1.1.1

項を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.1.2

$27$ と $- 6 (x + h)$ を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.1.3

$- 6$ を $3$ プラス $- 9$ に書き換える

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.1.3

最大公約数 $- (x + h) + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- x - h + 3$ と $x + h - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- 1$ を $- h$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.3

$- 1$ を $- (x) - (h)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.5

$- 1$ を $- (x + h) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.6

$- (x + h - 3)$ を $- 1 (x + h - 3)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.7

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

ステップ 2.1.2.2.1.8

$- 1 (x + h + 9)$ を $1$ で割ります。

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 1 (x + h + 9)$ を $- (x + h + 9)$ に書き換えます。

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

ステップ 2.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

ステップ 2.1.2.2.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (x + h) = - x - h - 9$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $- x - h - 9$ です。

$- x - h - 9$

ステップ 2.2

$- x$ と $- h$ を並べ替えます。

$- h - x - 9$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

ステップ 4.1.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

ステップ 4.1.4

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

ステップ 4.1.5

$- h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

ステップ 4.1.6

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

ステップ 4.1.7

$- h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

ステップ 4.2

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $- 1$ の極限値を求めます。

$- 1$

ステップ 6

微分積分 例

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