微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$3$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 16) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 16) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 16 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.1.2

$3$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 48 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.3.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{4} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.4

$x^{2}$ を $x^{4} - 48 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.6.4.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 48 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.4.2

$x^{2}$ を $- 48 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6.5.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 48)$ および $g (x) = {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 48)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 48$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 48) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

総和則では、 $x^{2} - 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 48)) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 48$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} - 48) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5.3

$2$ を $x^{2} - 48$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 48) x)) - x^{2} (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$f (x) = {(x + 4)}^{2}$ および $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$2$ を ${(x + 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

$2$ を ${(x - 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

積の法則を ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 48) x) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) - x^{2} (x^{2} - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.1

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x + 4) (x + 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x (x + 4) + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2} (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.4

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) ((x - 4) (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.5.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.6.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.6.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.6.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.7

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 8 x + 16)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.8.1

$x^{2} (- 8 x)$ と $8 x \cdot x^{2}$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 8 x^{2} x + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8.2

$- 8 x^{2} x$ と $8 x^{2} x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 0 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 x \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 (- 8 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8.4

$8 x \cdot 16$ と $16 (- 8 x)$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 8 \cdot (16 x) + 16 x^{2} - 8 \cdot (16 x) + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8.5

$8 \cdot 16 x$ から $8 \cdot 16 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 0 + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.8.6

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.9.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.9.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.2

$16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 8 x (- 8 x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x \cdot x) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.9.4.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} + 8 \cdot (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.5

$8$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.9.6

$16$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 16 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.10

$16 x^{2}$ から $64 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 48 x^{2} + 16 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.11

$- 48 x^{2}$ と $16 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.12.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.12.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.12.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.12.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.11.5.12.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.12.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 48 x)) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.12.2

$2$ に $- 48$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.13

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.14

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{4} - 32 x^{2} + 256) (4 x^{3} - 96 x)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.2.3

$3$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 96 x) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{4} x - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.4.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 (x \cdot x^{4}) - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.4.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.11.5.15.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{1 + 4} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.4.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 x^{2} (4 x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.6.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 32 \cdot (4 x^{5}) - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.7

$- 32$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 x^{2} (- 96 x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{2} x) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.9

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.9.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 (x \cdot x^{2})) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.9.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.15.9.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.11.5.15.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{1 + 2}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.9.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} - 32 \cdot (- 96 x^{3}) + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.10

$- 32$ に $- 96$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 256 (4 x^{3}) + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.11

$4$ に $256$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} + 256 (- 96 x) + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.15.12

$- 96$ に $256$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 96 x^{5} - 128 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.16

$- 96 x^{5}$ から $128 x^{5}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 3072 x^{3} + 1024 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.17

$3072 x^{3}$ と $1024 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.18

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.18.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.18.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.18.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{2 + 2} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.18.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} - x^{2} \cdot - 48) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.18.2

$- 48$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.1

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 ((x + 4) (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x^{2} + 8 x + 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.5.1

$8$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.5.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) ((2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} + 16 x + 32) (x - 4)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x \cdot x + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x \cdot - 4 + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.4

$- 4$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.7.5

$32$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.8

$- 8 x^{2}$ と $16 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 64 x + 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.9

$- 64 x$ と $32 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.10

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 ((x - 4) (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.11

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.12.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.12.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.12.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.12.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x^{2} - 8 x + 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.13

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.14.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.14.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + (2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.15

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (x + 4)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 (x \cdot x) - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 16 x \cdot 4 + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.4

$4$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 32 \cdot 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.16.5

$32$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.17

$8 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x + 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.19.18

$- 64 x$ と $32 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.20

$2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.20.1

$8 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} + 0 - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.20.2

$2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x - 128 + 2 x^{3} - 32 x + 128)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.20.3

$- 128$ と $128$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.20.4

$2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (2 x^{3} - 32 x + 2 x^{3} - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.21

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 32 x - 32 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.22

$- 32 x$ から $32 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + (- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.23

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{4} + 48 x^{2}) (4 x^{3} - 64 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.23.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3} - 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.23.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3} - 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.23.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.2.3

$3$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - x^{4} (- 64 x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{4} x) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 (x \cdot x^{4})) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{1 + 4}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.5.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 64 x^{5}) + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.6

$- 1$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 x^{2} (4 x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.8.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.8.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 48 \cdot (4 x^{5}) + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.9

$48$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 x^{2} (- 64 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{2} x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 (x \cdot x^{2}))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{1 + 2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.11.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} + 48 \cdot (- 64 x^{3})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.1.12

$48$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 64 x^{5} + 192 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.24.2

$64 x^{5}$ と $192 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{7} - 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 4 x^{7} + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.25

$4 x^{7}$ から $4 x^{7}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 0 + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.26

$- 224 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 224 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x + 256 x^{5} - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.27

$- 224 x^{5}$ と $256 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 4096 x^{3} - 24576 x - 3072 x^{3}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.28

$4096 x^{3}$ から $3072 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29

因数分解した形で $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.29.1

$32 x$ を $32 x^{5} + 1024 x^{3} - 24576 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.29.1.1

$32 x$ を $32 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 1024 x^{3} - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.1.2

$32 x$ を $1024 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) - 24576 x}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.1.3

$32 x$ を $- 24576 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.1.4

$32 x$ を $32 x (x^{4}) + 32 x (32 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.1.5

$32 x$ を $32 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 32 x (- 768)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{32 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.3

$u_{3} = x^{2}$ とします。 $u_{3}$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{32 x ({u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.4

たすき掛けを利用して ${u_{3}}^{2} + 32 u_{3} - 768$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.5.29.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 768$ で、その和が $32$ です。

$- 16, 48$

ステップ 1.1.2.11.5.29.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{32 x ((u_{3} - 16) (u_{3} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.5

$u_{3}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.6

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{32 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.5.29.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.1

${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.6.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.6.2

${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.11.6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.6.3

$x + 4$ と ${(x + 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.3.1

$x + 4$ を $32 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.3.2.1

$x + 4$ を ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 1.1.2.11.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((32 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

ステップ 1.1.2.11.6.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(32 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.6.4

$x - 4$ と ${(x - 4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.4.1

$x - 4$ を $32 x (x - 4) (x^{2} + 48)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.6.4.2.1

$x - 4$ を ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 1.1.2.11.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (32 x (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

ステップ 1.1.2.11.6.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ です。

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{32 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$32 x (x^{2} + 48) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x^{2} + 48$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x^{2} + 48$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 48 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} + 48 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.1

方程式の両辺から $48$ を引きます。

$x^{2} = - 48$

ステップ 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

ステップ 1.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{- 48}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

ステップ 1.2.3.3.2.3.6

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $32 x (x^{2} + 48) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 16 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 16$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 2.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 4, - 4}$

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 4, - 4}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = \frac{32 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 48)}{{((- 6) + 4)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$32$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 6 + 4)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 6$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$- 6$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{{(- 2)}^{3} {(- 10)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 {(- 10)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.4

$- 10$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 ({(- 6)}^{2} + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 (36 + 48)}{- 8 \cdot - 1000}$

ステップ 4.2.3.2

$36$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{- 8 \cdot - 1000}$

ステップ 4.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 8$ に $- 1000$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 192 \cdot 84}{8000}$

ステップ 4.2.4.2

$- 192$ に $84$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 16128}{8000}$

ステップ 4.2.4.3

$- 16128$ と $8000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$64$ を $- 16128$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{64 (- 252)}{8000}$

ステップ 4.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1

$64$ を $8000$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

ステップ 4.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{64 \cdot - 252}{64 \cdot 125}$

ステップ 4.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{- 252}{125}$

ステップ 4.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 6) = - \frac{252}{125}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{252}{125}$ です。

$- \frac{252}{125}$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 4)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 4, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{32 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 48)}{{((- 2) + 4)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$32$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{{(- 2 + 4)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{2^{3} {(- 6)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 {(- 6)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 ({(- 2)}^{2} + 48)}{8 \cdot - 216}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 (4 + 48)}{8 \cdot - 216}$

ステップ 5.2.3.2

$4$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{8 \cdot - 216}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$8$ に $- 216$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

ステップ 5.2.4.2

$- 64$ に $52$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 3328}{- 1728}$

ステップ 5.2.4.3

$- 3328$ と $- 1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$- 64$ を $- 3328$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 1728}$

ステップ 5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.2.1

$- 64$ を $- 1728$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

ステップ 5.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{- 64 \cdot 52}{- 64 \cdot 27}$

ステップ 5.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{52}{27}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{52}{27}$ です。

$\frac{52}{27}$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 4, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 4, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{32 (2) ({(2)}^{2} + 48)}{{((2) + 4)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$32$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 {(- 2)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{64 (2^{2} + 48)}{216 \cdot - 8}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{64 (4 + 48)}{216 \cdot - 8}$

ステップ 6.2.3.2

$4$ と $48$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

ステップ 6.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$216$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{- 1728}$

ステップ 6.2.4.2

$64$ に $52$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{3328}{- 1728}$

ステップ 6.2.4.3

$3328$ と $- 1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.3.1

$64$ を $3328$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{64 (52)}{- 1728}$

ステップ 6.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.3.2.1

$64$ を $- 1728$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

ステップ 6.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{64 \cdot 52}{64 \cdot - 27}$

ステップ 6.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{52}{- 27}$

ステップ 6.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2) = - \frac{52}{27}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{52}{27}$ です。

$- \frac{52}{27}$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 4)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = \frac{32 (6) ({(6)}^{2} + 48)}{{((6) + 4)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$32$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{{(6 + 4)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$6$ と $4$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$6$ から $4$ を引きます。

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{10^{3} \cdot 2^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$10$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 2^{3}}$

ステップ 7.2.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{192 (6^{2} + 48)}{1000 \cdot 8}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{192 (36 + 48)}{1000 \cdot 8}$

ステップ 7.2.3.2

$36$ と $48$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{1000 \cdot 8}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$1000$ に $8$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{192 \cdot 84}{8000}$

ステップ 7.2.4.2

$192$ に $84$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{16128}{8000}$

ステップ 7.2.4.3

$16128$ と $8000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.1

$64$ を $16128$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{64 (252)}{8000}$

ステップ 7.2.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.3.2.1

$64$ を $8000$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

ステップ 7.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{64 \cdot 252}{64 \cdot 125}$

ステップ 7.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{252}{125}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{252}{125}$ です。

$\frac{252}{125}$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 4, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例