微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.4.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

ステップ 1.1.1.5.2

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 48 x + 12$ です。

$36 x^{2} - 48 x + 12$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$12$ を $36 x^{2} - 48 x + 12$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$12$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$12$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$12$ を $12$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$12$ を $12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$12$ を $12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$12 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$12 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$12 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$12 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 1.2.4.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.6

最終解は $12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{1}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 12$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 12$

ステップ 4.2.1.2

$36$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 12$

ステップ 4.2.1.3

$- 48$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 12$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 12$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $12$ をたし算します。

$f'' (0) = 12$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \frac{1}{3})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{1}{3})$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{1}{3}, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.67$ で置換えます。

$f'' (0.67) = 36 {(0.67)}^{2} - 48 \cdot 0.67 + 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0.67$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.67) = 36 \cdot 0.4489 - 48 \cdot 0.67 + 12$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $0.4489$ をかけます。

$f'' (0.67) = 16.1604 - 48 \cdot 0.67 + 12$

ステップ 5.2.1.3

$- 48$ に $0.67$ をかけます。

$f'' (0.67) = 16.1604 - 32.16 + 12$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$16.1604$ から $32.16$ を引きます。

$f'' (0.67) = - 15.9996 + 12$

ステップ 5.2.2.2

$- 15.9996$ と $12$ をたし算します。

$f'' (0.67) = - 3.9996$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3.9996$ です。

$- 3.9996$

ステップ 5.3

$f'' (0.67)$ が負なので、区間 $(\frac{1}{3}, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{1}{3}, 1)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 12$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 576 - 48 \cdot 4 + 12$

ステップ 6.2.1.3

$- 48$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 576 - 192 + 12$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$576$ から $192$ を引きます。

$f'' (4) = 384 + 12$

ステップ 6.2.2.2

$384$ と $12$ をたし算します。

$f'' (4) = 396$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $396$ です。

$396$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{1}{3})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{1}{3}, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例