微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5

項をまとめます。

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ステップ 1.1.5.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

ステップ 1.1.5.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.5.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.3.3

${(x^{2} - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.2

$x^{2} - 1$ を $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.3

$x^{2} - 1$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

ステップ 1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{2} - 1$ を ${(x^{2} - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.16

$- 2$ と $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.17

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.18.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2.18.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ です。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 6 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 6 x^{2} = 2$

ステップ 2.3.2

$- 6 x^{2} = 2$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 6 x^{2} = 2$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{- 6}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$2$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{2 (1)}{- 6}$

ステップ 2.3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{1}{- 3}$

ステップ 2.3.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{3}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.4.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.4.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 2.3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.3.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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