微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = (x + 1) (x - 1)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.8.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.4.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.6

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 1.2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 2) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.3.3

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.2.3

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.3

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

ステップ 1.2.9.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.2.9.3.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.2.9.3.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{x^{3}}$ です。

$\frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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