微分積分例

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [26]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (26)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$26$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $26$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} + 36 x - 48$ です。

$12 x^{2} + 36 x - 48$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ を $12 x^{2} + 36 x - 48$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 36 x - 48 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12$ を $36 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (3 x) - 48 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $- 48$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (3 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12$ を $12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x - 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $12 (x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 4$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

ステップ 3.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 + 6 \cdot 1 - 24 {(1)}^{2} + 26$

ステップ 3.1.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 + 6 - 24 {(1)}^{2} + 26$

ステップ 3.1.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 + 6 - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 3.1.2.1.5

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 + 6 - 24 + 26$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = 7 - 24 + 26$

ステップ 3.1.2.2.2

$7$ から $24$ を引きます。

$f (1) = - 17 + 26$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 17$ と $26$ をたし算します。

$f (1) = 9$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, 9)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, 9)$

ステップ 3.3

$- 4$ を $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f (- 4) = 256 + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = 256 + 6 \cdot - 64 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

ステップ 3.3.2.1.3

$6$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 \cdot 16 + 26$

ステップ 3.3.2.1.5

$- 24$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = 256 - 384 - 384 + 26$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$256$ から $384$ を引きます。

$f (- 4) = - 128 - 384 + 26$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 128$ から $384$ を引きます。

$f (- 4) = - 512 + 26$

ステップ 3.3.2.2.3

$- 512$ と $26$ をたし算します。

$f (- 4) = - 486$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 486$ です。

$- 486$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ で代入して $- 4$ 求めた点は、 $(- 4, - 486)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 4, - 486)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, 9), (- 4, - 486)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4.1$ で置換えます。

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 36 (- 4.1) - 48$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 36 (- 4.1) - 48$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $16.81$ をかけます。

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 36 (- 4.1) - 48$

ステップ 5.2.1.3

$36$ に $- 4.1$ をかけます。

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 147.6 - 48$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$201.72$ から $147.6$ を引きます。

$f'' (- 4.1) = 54.12 - 48$

ステップ 5.2.2.2

$54.12$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 4.1) = 6.12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6.12$ です。

$6.12$

ステップ 5.3

$- 4.1$ で二次導関数は $6.12$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 4)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 4, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (3) (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{9}{4})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.7

$3$ に $9$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (\frac{- 3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.8.2

$2$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 (18) (\frac{- 3}{2}) - 48$

ステップ 6.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 \cdot (18 (\frac{- 3}{2})) - 48$

ステップ 6.2.1.8.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 18 \cdot - 3 - 48$

ステップ 6.2.1.9

$18$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 - 54 - 48$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$27$ から $54$ を引きます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 27 - 48$

ステップ 6.2.2.2

$- 27$ から $48$ を引きます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 75$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 75$ です。

$- 75$

ステップ 6.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $- 75$ です。これは負の値なので、 $(- 4, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 4, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} + 36 (1.1) - 48$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 + 36 (1.1) - 48$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = 14.52 + 36 (1.1) - 48$

ステップ 7.2.1.3

$36$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = 14.52 + 39.6 - 48$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$14.52$ と $39.6$ をたし算します。

$f'' (1.1) = 54.12 - 48$

ステップ 7.2.2.2

$54.12$ から $48$ を引きます。

$f'' (1.1) = 6.12$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $6.12$ です。

$6.12$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $6.12$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 486), (1, 9)$ .

$(- 4, - 486), (1, 9)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例