微分積分例

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x {(x - 4)}^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.6

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1.1.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $6 x {(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3.2

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $2 {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

ステップ 1.1.5.3.3

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

ステップ 1.1.5.4

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.5

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.7.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.7.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.7.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.9.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.9.2

$2$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

ステップ 1.1.5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ を展開します。

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.5.11.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.11.6.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.7

$- 16$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.8

$- 4$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.9

$4$ に $32$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

ステップ 1.1.5.11.10

$32$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

ステップ 1.1.5.12

$- 8 x^{2}$ から $64 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

ステップ 1.1.5.13

$64 x$ と $128 x$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x^{2}$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 72$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [192 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$192$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $192 x$ の微分係数は $192 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.4.3

$192$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

ステップ 1.2.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 128$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 128$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

ステップ 1.2.5.2

$24 x^{2} - 144 x + 192$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $24 x^{2} - 144 x + 192$ です。

$24 x^{2} - 144 x + 192$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$24$ を $24 x^{2} - 144 x + 192$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$24$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$24$ を $- 144 x$ で因数分解します。

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$24$ を $192$ で因数分解します。

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$24$ を $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ で因数分解します。

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$24$ を $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ で因数分解します。

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ を $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

ステップ 3.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (4) = 8 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.4

$8$ に $0$ をかけます。

$f (4) = 0$

ステップ 3.1.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, 0)$

ステップ 3.3

$2$ を $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

ステップ 3.3.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 4 \cdot - 8$

ステップ 3.3.2.4

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f (2) = - 32$

ステップ 3.3.2.5

最終的な答えは $- 32$ です。

$- 32$

ステップ 3.4

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, - 32)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, - 32)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(4, 0), (2, - 32)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.9$ で置換えます。

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$1.9$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

ステップ 5.2.1.2

$24$ に $3.61$ をかけます。

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

ステップ 5.2.1.3

$- 144$ に $1.9$ をかけます。

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$86.64$ から $273.6$ を引きます。

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

ステップ 5.2.2.2

$- 186.96$ と $192$ をたし算します。

$f'' (1.9) = 5.04$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $5.04$ です。

$5.04$

ステップ 5.3

$1.9$ で二次導関数は $5.04$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(2, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

ステップ 6.2.1.2

$24$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

ステップ 6.2.1.3

$- 144$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$216$ から $432$ を引きます。

$f'' (3) = - 216 + 192$

ステップ 6.2.2.2

$- 216$ と $192$ をたし算します。

$f'' (3) = - 24$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 24$ です。

$- 24$

ステップ 6.3

$3$ で二次導関数は $- 24$ です。これは負の値なので、 $(2, 4)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(2, 4)$ で減少

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

ステップ 7.2.1.2

$24$ に $16.81$ をかけます。

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

ステップ 7.2.1.3

$- 144$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$403.44$ から $590.4$ を引きます。

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

ステップ 7.2.2.2

$- 186.96$ と $192$ をたし算します。

$f'' (4.1) = 5.04$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5.04$ です。

$5.04$

ステップ 7.3

$4.1$ で二次導関数は $5.04$ です。これは正の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(4, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例