微分積分例

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

ステップ 2.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (8 x)$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 8 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 8 \cdot 1$

ステップ 2.2.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 8$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 24 x + 8$ です。

$12 x^{2} - 24 x + 8$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 24 x + 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 24 x + 8 = 0$

ステップ 3.2

$4$ を $12 x^{2} - 24 x + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) - 24 x + 8 = 0$

ステップ 3.2.2

$4$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 6 x) + 8 = 0$

ステップ 3.2.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 6 x) + 4 (2) = 0$

ステップ 3.2.4

$4$ を $4 (3 x^{2}) + 4 (- 6 x)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 6 x) + 4 (2) = 0$

ステップ 3.2.5

$4$ を $4 (3 x^{2} - 6 x) + 4 (2)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

ステップ 3.3

$4 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$3 x^{2} - 6 x + 2$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{4}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 3$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.8.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1.57735026$ を $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1.57735026$ で置換えます。

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{4} - 4 {(1.57735026)}^{3} + 4 {(1.57735026)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$1.57735026$ を $4$ 乗します。

$f (1.57735026) = 6.19031254 - 4 {(1.57735026)}^{3} + 4 {(1.57735026)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$1.57735026$ を $3$ 乗します。

$f (1.57735026) = 6.19031254 - 4 \cdot 3.92450089 + 4 {(1.57735026)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 4$ に $3.92450089$ をかけます。

$f (1.57735026) = 6.19031254 - 15.69800358 + 4 {(1.57735026)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$1.57735026$ を $2$ 乗します。

$f (1.57735026) = 6.19031254 - 15.69800358 + 4 \cdot 2.48803387$

ステップ 4.1.2.1.5

$4$ に $2.48803387$ をかけます。

$f (1.57735026) = 6.19031254 - 15.69800358 + 9.95213548$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$6.19031254$ から $15.69800358$ を引きます。

$f (1.57735026) = - 9.50769104 + 9.95213548$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 9.50769104$ と $9.95213548$ をたし算します。

$f (1.57735026) = 0.\overline{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0.\overline{4}$ です。

$0.\overline{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ で代入して $1.57735026$ 求めた点は、 $(1.57735026, 0.\overline{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1.57735026, 0.\overline{4})$

ステップ 4.3

$0.42264973$ を $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $0.42264973$ で置換えます。

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{4} - 4 {(0.42264973)}^{3} + 4 {(0.42264973)}^{2}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$0.42264973$ を $4$ 乗します。

$f (0.42264973) = 0.03190967 - 4 {(0.42264973)}^{3} + 4 {(0.42264973)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$0.42264973$ を $3$ 乗します。

$f (0.42264973) = 0.03190967 - 4 \cdot 0.0754991 + 4 {(0.42264973)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 4$ に $0.0754991$ をかけます。

$f (0.42264973) = 0.03190967 - 0.30199641 + 4 {(0.42264973)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

$0.42264973$ を $2$ 乗します。

$f (0.42264973) = 0.03190967 - 0.30199641 + 4 \cdot 0.17863279$

ステップ 4.3.2.1.5

$4$ に $0.17863279$ をかけます。

$f (0.42264973) = 0.03190967 - 0.30199641 + 0.71453117$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$0.03190967$ から $0.30199641$ を引きます。

$f (0.42264973) = - 0.27008673 + 0.71453117$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 0.27008673$ と $0.71453117$ をたし算します。

$f (0.42264973) = 0.44444444$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $0.44444444$ です。

$0.44444444$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ で代入して $0.42264973$ 求めた点は、 $(0.42264973, 0.44444444)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0.42264973, 0.44444444)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1.57735026, 0.\overline{4}), (0.42264973, 0.44444444)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0.42264973)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.32264973$ で置換えます。

$f'' (0.32264973) = 12 {(0.32264973)}^{2} - 24 \cdot 0.32264973 + 8$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.32264973$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.32264973) = 12 \cdot 0.10410284 - 24 \cdot 0.32264973 + 8$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $0.10410284$ をかけます。

$f'' (0.32264973) = 1.24923418 - 24 \cdot 0.32264973 + 8$

ステップ 6.2.1.3

$- 24$ に $0.32264973$ をかけます。

$f'' (0.32264973) = 1.24923418 - 7.74359353 + 8$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1.24923418$ から $7.74359353$ を引きます。

$f'' (0.32264973) = - 6.49435935 + 8$

ステップ 6.2.2.2

$- 6.49435935$ と $8$ をたし算します。

$f'' (0.32264973) = 1.50564064$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1.50564064$ です。

$1.50564064$

ステップ 6.3

$0.32264973$ で二次導関数は $1.50564064$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0.42264973)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.42264973)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0.42264973, 1.57735026)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 8$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 8$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 8$

ステップ 7.2.1.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 12 - 24 + 8$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$12$ から $24$ を引きます。

$f'' (1) = - 12 + 8$

ステップ 7.2.2.2

$- 12$ と $8$ をたし算します。

$f'' (1) = - 4$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 7.3

$1$ で二次導関数は $- 4$ です。これは負の値なので、 $(0.42264973, 1.57735026)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0.42264973, 1.57735026)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1.57735026, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.67735026$ で置換えます。

$f'' (1.67735026) = 12 {(1.67735026)}^{2} - 24 \cdot 1.67735026 + 8$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$1.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.67735026) = 12 \cdot 2.81350392 - 24 \cdot 1.67735026 + 8$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $2.81350392$ をかけます。

$f'' (1.67735026) = 33.7620471 - 24 \cdot 1.67735026 + 8$

ステップ 8.2.1.3

$- 24$ に $1.67735026$ をかけます。

$f'' (1.67735026) = 33.7620471 - 40.25640646 + 8$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$33.7620471$ から $40.25640646$ を引きます。

$f'' (1.67735026) = - 6.49435935 + 8$

ステップ 8.2.2.2

$- 6.49435935$ と $8$ をたし算します。

$f'' (1.67735026) = 1.50564064$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $1.50564064$ です。

$1.50564064$

ステップ 8.3

$1.67735026$ で二次導関数は $1.50564064$ です。これは正の値なので、 $(1.57735026, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1.57735026, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.42264973, 0.44444444), (1.57735026, 0.\overline{4})$ .

$(0.42264973, 0.44444444), (1.57735026, 0.\overline{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例