微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $48$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

$48$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} + 96 x + 48$ です。

$36 x^{2} + 96 x + 48$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12$ を $36 x^{2} + 96 x + 48$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$12$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12$ を $96 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $48$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12$ を $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$8$ を $2$ プラス $6$ に書き換える

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{2}{3}$ を $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.3

$\frac{2^{4}}{3^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.4

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.5

$3$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.6.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.7.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.9

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.10

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.11

$16 (- \frac{8}{27})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1.11.1

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.11.2

$- 16$ と $\frac{8}{27}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.11.3

$- 16$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.12

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

ステップ 3.1.2.1.13

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.13.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.13.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

ステップ 3.1.2.1.14

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

ステップ 3.1.2.1.15

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.16

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.17

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.18

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.18.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.18.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

ステップ 3.1.2.1.18.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

ステップ 3.1.2.1.18.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

ステップ 3.1.2.1.19

$8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

ステップ 3.1.2.1.20

$8$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

ステップ 3.1.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

ステップ 3.1.2.2.2

$16$ から $128$ を引きます。

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

ステップ 3.1.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

ステップ 3.1.2.3.2

$\frac{32}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

ステップ 3.1.2.3.3

$\frac{32}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

ステップ 3.1.2.3.4

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 3.1.2.3.5

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

ステップ 3.1.2.3.6

$3$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

ステップ 3.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

ステップ 3.1.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$32$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

ステップ 3.1.2.5.2

$32$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

ステップ 3.1.2.6

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$864$ から $112$ を引きます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

ステップ 3.1.2.6.2

$752$ と $288$ をたし算します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

ステップ 3.1.2.7

最終的な答えは $\frac{1040}{27}$ です。

$\frac{1040}{27}$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ で代入して $- \frac{2}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

ステップ 3.3

$- 2$ を $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 3.3.2.1.4

$16$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 3.3.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

ステップ 3.3.2.1.6

$24$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$48$ から $128$ を引きます。

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 80$ と $96$ をたし算します。

$f (- 2) = 16 + 32$

ステップ 3.3.2.2.3

$16$ と $32$ をたし算します。

$f (- 2) = 48$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 3.4

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, 48)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, 48)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

ステップ 5.2.1.3

$96$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$158.76$ から $201.6$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

ステップ 5.2.2.2

$- 42.84$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = 5.16$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $5.16$ です。

$5.16$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $5.16$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, - \frac{2}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $1.\overline{7}$ をかけます。

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

ステップ 6.2.1.3

$96$ に $- 1.\overline{3}$ をかけます。

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$64$ から $128$ を引きます。

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

ステップ 6.2.2.2

$- 64$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 6.3

$- 1.\overline{3}$ で二次導関数は $- 16$ です。これは負の値なので、 $(- 2, - \frac{2}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, - \frac{2}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \frac{2}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.5\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.5\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

ステップ 7.2.1.2

$36$ に $0.32\overline{1}$ をかけます。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

ステップ 7.2.1.3

$96$ に $- 0.5\overline{6}$ をかけます。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$11.55\overline{9}$ から $54.4$ を引きます。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

ステップ 7.2.2.2

$- 42.84$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5.16$ です。

$5.16$

ステップ 7.3

$- 0.5\overline{6}$ で二次導関数は $5.16$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{2}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{2}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例