微分積分例

$x + 2 \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 + 2 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - 2 \sin (x)$ です。

$1 - 2 \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - 1$

ステップ 2.3

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 2.7

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.7.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 2.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 2.7.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 2.8

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + 2 \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.2

$x = \frac{13 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{13 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{13 π}{6}) + 2 \cos (\frac{13 π}{6})$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{13 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.2.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{13 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.3

$x = \frac{25 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{25 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{25 π}{6}) + 2 \cos (\frac{25 π}{6})$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{25 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.3.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{25 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.4

$x = \frac{37 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{37 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{37 π}{6}) + 2 \cos (\frac{37 π}{6})$

ステップ 4.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{37 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.4.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{37 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.5

$x = \frac{49 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{49 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{49 π}{6}) + 2 \cos (\frac{49 π}{6})$

ステップ 4.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{49 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 4.5.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{49 π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 4.6

$x = \frac{5 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\frac{5 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.6.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.7

$x = \frac{17 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$\frac{17 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{17 π}{6}) + 2 \cos (\frac{17 π}{6})$

ステップ 4.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{17 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.7.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.7.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{17 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.8

$x = \frac{29 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$\frac{29 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{29 π}{6}) + 2 \cos (\frac{29 π}{6})$

ステップ 4.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{29 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.8.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.8.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.8.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.8.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{29 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.9

$x = \frac{41 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$\frac{41 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{41 π}{6}) + 2 \cos (\frac{41 π}{6})$

ステップ 4.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{41 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.9.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.9.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.9.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.9.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{41 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.10

$x = \frac{53 π}{6}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$\frac{53 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{53 π}{6}) + 2 \cos (\frac{53 π}{6})$

ステップ 4.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{53 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 4.10.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.10.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.10.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.10.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{53 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 4.11

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{25 π}{6}, \frac{25 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{37 π}{6}, \frac{37 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{49 π}{6}, \frac{49 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{17 π}{6}, \frac{17 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{29 π}{6}, \frac{29 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{41 π}{6}, \frac{41 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{53 π}{6}, \frac{53 π}{6} - \sqrt{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例