微分積分例

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(6 - 2 x)}^{2}$ を $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.3

$6$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

ステップ 1.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

ステップ 1.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

ステップ 1.1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.3.2

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x$ および $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $36 - 24 x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.2

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ をたし算します。

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.4

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.6

$- 24$ に $1$ をかけます。

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.9

$2$ に $4$ をかけます。

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

ステップ 1.1.5.11

$36 - 24 x + 4 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.6.2.1

$- 24$ を $x$ の左に移動させます。

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.6

$- 24 x$ から $24 x$ を引きます。

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

ステップ 1.1.6.2.7

$8 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

ステップ 1.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 48 x + 36$ です。

$12 x^{2} - 48 x + 36$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12$ を $12 x^{2} - 48 x + 36$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $36$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12$ を $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(6 - 2 x)}^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 {(6 - 6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.2

$6$ から $6$ を引きます。

$3 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

${(6 - 2)}^{2}$

ステップ 4.2.2.3

$6$ から $2$ を引きます。

$4^{2}$

ステップ 4.2.2.4

$4$ を $2$ 乗します。

$16$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, 0), (1, 16)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例