微分積分例

$y = x \ln (x + 3)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x + 3)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{x + 3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.5.2

$\frac{x}{x + 3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.7

$\ln (x + 3)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

ステップ 1.1.4

$\ln (x + 3)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

ステップ 1.1.6.1.1.2

$\ln (x + 3) \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.1.1.2.1

$\ln (x + 3)$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.6.1.1.2.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \cdot \ln (x + 3)$ を簡約します。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

ステップ 1.1.6.1.2

$x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

ステップ 1.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ です。

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.14544928$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.3

$\ln (x + 3)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 \leq 0$

ステップ 3.4

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x \leq - 3$

ステップ 3.5

$\ln ({(x + 3)}^{3})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.6.2

方程式を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.6.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x + 3 \leq 0$

ステップ 3.6.3

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x \leq - 3$

ステップ 3.7

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x \ln (x + 3)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1.14544928$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1.14544928$ を $x$ に代入します。

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1.14544928$ と $3$ をたし算します。

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

ステップ 4.1.2.2

対数の中の $1.14544928$ を移動させて $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ を簡約します。

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

ステップ 4.1.2.3

$1.85455071$ を $1.14544928$ 乗します。

$- \ln (2.02886823)$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$- 3 \ln (0)$

ステップ 4.2.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例