微分積分例

$y = | x^{2} - 9 |$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 9$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 3.2.3

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

ステップ 3.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

ステップ 3.2.4.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.3.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 6.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1

$2 x$ を $2 x^{3} - 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1.1

$2 x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

ステップ 6.2.1.1.2

$2 x$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

ステップ 6.2.1.1.3

$2 x$ を $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ で因数分解します。

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 6.2.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 6.2.1.3

因数分解。

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ステップ 6.2.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 6.2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.2.4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.2.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.2.6

最終解は $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 6.3

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

ステップ 7

$| {(0)}^{2} - 9 |$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = | 0 - 9 |$

ステップ 7.2

$0$ から $9$ を引きます。

$y = | - 9 |$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 9$ と $0$ の間の距離は $9$ です。

$y = 9$

ステップ 8

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 9)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例