微分積分例

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$3$ を $3 x^{2} - 6 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

ステップ 6.1.2

$3$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

ステップ 6.1.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 6.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

ステップ 6.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

ステップ 6.2

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x^{2} - 2 x + 3$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

ステップ 6.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.4

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

ステップ 6.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.6.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

ステップ 6.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + i \sqrt{2}$

ステップ 6.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.3

$4$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.4

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.5

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.7.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

ステップ 6.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - i \sqrt{2}$

ステップ 6.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

ステップ 7

計算した $x$ の値には虚数成分を含めることはできません。

$1 + i \sqrt{2}$ はxの有効値ではありません

ステップ 8

計算した $x$ の値には虚数成分を含めることはできません。

$1 - i \sqrt{2}$ はxの有効値ではありません

ステップ 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例