微分積分例

$x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 10 x - 7 + 0$

ステップ 1.4.2

$3 x^{2} - 10 x - 7$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 10 x - 7$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 10 x - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2

$a = 3$ 、 $b = - 10$ 、および $c = - 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 12$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.3

$100$ と $84$ をたし算します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.4

$184$ を $2^{2} \cdot 46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

$4$ を $184$ で因数分解します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

ステップ 2.3.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

ステップ 2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 12$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.3

$100$ と $84$ をたし算します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.4

$184$ を $2^{2} \cdot 46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

$4$ を $184$ で因数分解します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

ステップ 2.4.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

ステップ 2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 12$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.3

$100$ と $84$ をたし算します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.4

$184$ を $2^{2} \cdot 46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.1

$4$ を $184$ で因数分解します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

ステップ 2.5.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$

ステップ 2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}, \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$

ステップ 3

$x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{3} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

$5$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (25 \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.3

$3$ に $25$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.4

$3$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 {\sqrt{46}}^{2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5

${\sqrt{46}}^{2}$ を $46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{46}$ を $46^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 {(46^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.6

$15$ に $46$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.7

${\sqrt{46}}^{3}$ を $\sqrt{46^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{46^{3}}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.8

$46$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{97336}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.9

$97336$ を $46^{2} \cdot 46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.9.1

$2116$ を $97336$ で因数分解します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{2116 (46)}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.9.2

$2116$ を $46^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{46^{2} \cdot 46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.4.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.5

$125$ と $690$ をたし算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 75 \sqrt{46} + 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.6

$75 \sqrt{46}$ と $46 \sqrt{46}$ をたし算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.7

積の法則を $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{2}}{3^{2}} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.9

${(5 + \sqrt{46})}^{2}$ を $(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 (5 + \sqrt{46}) + \sqrt{46} (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.10.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.10.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \cdot 5 + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.11.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \cdot 5 + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.1.2

$5$ を $\sqrt{46}$ の左に移動させます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \cdot \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46 \cdot 46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.1.4

$46$ に $46$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{2116}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.1.5

$2116$ を $46^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46^{2}}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.2

$25$ と $46$ をたし算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.11.3

$5 \sqrt{46}$ と $5 \sqrt{46}$ をたし算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 + 10 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.12

$- 5$ と $\frac{71 + 10 \sqrt{46}}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} + \frac{- 5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.14

$- 7$ と $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} + \frac{- 7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 3.2.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - (\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 9$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9$

ステップ 3.2.2.5

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1}$

ステップ 3.2.2.6

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 3.2.2.7

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 5 \cdot 71 - 5 (10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.2

$- 5$ に $71$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 355 - 5 (10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.3

$10$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 355 - 50 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 355 \cdot 3 - 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.5

$- 355$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.6

$3$ に $- 50$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.7

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} + (- 7 \cdot 5 - 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.8

$- 7$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} + (- 35 - 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.9

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 35 \cdot 9 - 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.10

$- 35$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.11

$9$ に $- 7$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 3.2.4.12

$9$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 3.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$815$ から $1065$ を引きます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 250 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 3.2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$- 250$ から $315$ を引きます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 565 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 3.2.5.2.2

$- 565$ と $243$ をたし算します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 3.2.5.3

$121 \sqrt{46}$ から $150 \sqrt{46}$ を引きます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 29 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 3.2.5.4

$- 29 \sqrt{46}$ から $63 \sqrt{46}$ を引きます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 3.2.5.5

$- 322$ を $- 1 (322)$ に書き換えます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 3.2.5.6

$- 1$ を $- 92 \sqrt{46}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - (92 \sqrt{46})}{27}$

ステップ 3.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (322) - (92 \sqrt{46})$ で因数分解します。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 (322 + 92 \sqrt{46})}{27}$

ステップ 3.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$ です。

$- \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4

$x = \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{3} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.3

二項定理を利用します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$5$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (25 (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.3

$3$ に $25$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 (- \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.4

$- 1$ に $75$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.5

$3$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {(- \sqrt{46})}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.6

積の法則を $- \sqrt{46}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{46}}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 (1 {\sqrt{46}}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.8

${\sqrt{46}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {\sqrt{46}}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9

${\sqrt{46}}^{2}$ を $46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{46}$ を $46^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {(46^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.9.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.10

$15$ に $46$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.11

積の法則を $- \sqrt{46}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.13

${\sqrt{46}}^{3}$ を $\sqrt{46^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{46^{3}}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.14

$46$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{97336}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.15

$97336$ を $46^{2} \cdot 46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.15.1

$2116$ を $97336$ で因数分解します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{2116 (46)}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.15.2

$2116$ を $46^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{46^{2} \cdot 46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.16

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - (46 \sqrt{46})}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.4.17

$46$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.5

$125$ と $690$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 75 \sqrt{46} - 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.6

$- 75 \sqrt{46}$ から $46 \sqrt{46}$ を引きます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.7

積の法則を $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{2}}{3^{2}} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.9

${(5 - \sqrt{46})}^{2}$ を $(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 (5 - \sqrt{46}) - \sqrt{46} (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.10.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.10.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4

$- \sqrt{46} (- \sqrt{46})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 1 \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4.2

$\sqrt{46}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4.3

$\sqrt{46}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4.4

$\sqrt{46}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {\sqrt{46}}^{1 + 1}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {\sqrt{46}}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5

${\sqrt{46}}^{2}$ を $46$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{46}$ を $46^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {(46^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{2}{2}}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{2}{2}}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.1.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.2

$25$ と $46$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.11.3

$- 5 \sqrt{46}$ から $5 \sqrt{46}$ を引きます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 - 10 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.12

$- 5$ と $\frac{71 - 10 \sqrt{46}}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} + \frac{- 5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.14

$- 7$ と $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} + \frac{- 7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 4.2.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 4.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - (\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

ステップ 4.2.2.3

$\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 9$

ステップ 4.2.2.4

$\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9$

ステップ 4.2.2.5

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1}$

ステップ 4.2.2.6

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.2.7

$\frac{9}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 5 \cdot 71 - 5 (- 10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.2

$- 5$ に $71$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 355 - 5 (- 10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.3

$- 10$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 355 + 50 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 355 \cdot 3 + 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.5

$- 355$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.6

$3$ に $50$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.7

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 7 \cdot 5 - 7 (- \sqrt{46})) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.8

$- 7$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 35 - 7 (- \sqrt{46})) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.9

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 35 + 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.10

分配則を当てはめます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 35 \cdot 9 + 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.11

$- 35$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.12

$9$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 9 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.4.13

$9$ に $27$ をかけます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 4.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$815$ から $1065$ を引きます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 250 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 4.2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

$- 250$ から $315$ を引きます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 565 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

ステップ 4.2.5.2.2

$- 565$ と $243$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4.2.5.3

$- 121 \sqrt{46}$ と $150 \sqrt{46}$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 29 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4.2.5.4

$29 \sqrt{46}$ と $63 \sqrt{46}$ をたし算します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4.2.5.5

$- 322$ を $- 1 (322)$ に書き換えます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4.2.5.6

$- 1$ を $92 \sqrt{46}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - (- 92 \sqrt{46})}{27}$

ステップ 4.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (322) - (- 92 \sqrt{46})$ で因数分解します。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 (322 - 92 \sqrt{46})}{27}$

ステップ 4.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは $- \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$ です。

$- \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ の水平接線は $y = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}, y = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$ です。

$y = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}, y = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例