微分積分例

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

ステップ 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.2.1

微分します。

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ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 (x y' + y)$

ステップ 2.3.6

分配則を当てはめます。

$2 x y' + 2 y$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式の両辺から $2 x y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3

$y'$ を $3 y^{2} y' - 2 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.3.1

$y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3.2

$y'$ を $- 2 x y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3.3

$y'$ を $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.4

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2} - 2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2} - 2 x$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

ステップ 2.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.4.2.1

$3 y^{2} - 2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

ステップ 2.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$2 y - 3 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$- 3 x^{2} = - 2 y$

ステップ 3.2.2

$- 3 x^{2} = - 2 y$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 3 x^{2} = - 2 y$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

ステップ 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

ステップ 3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.2

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.4.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.2.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

ステップ 3.2.4.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ と $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

ステップ 4.2.2

$\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ と $y$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ です。

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ と $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

ステップ 5.2.3

$y$ と $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

ステップ 5.2.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ です。

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例