微分積分例

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.4

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

ステップ 1.1.6

$2$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

ステップ 1.1.7

簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

ステップ 1.1.7.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.7.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

ステップ 1.1.7.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

ステップ 1.1.7.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

ステップ 1.1.7.3.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.1.7.3.5

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 8 x$ です。

$4 x^{3} - 8 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

ステップ 2.2

$4 x$ を $4 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

ステップ 2.2.2

$4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 2.6

最終解は $4 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} (x^{2} - 4)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 (0 - 4)$

ステップ 4.1.2.3

$0$ から $4$ を引きます。

$0 \cdot - 4$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 4$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.1.5

指数を求めます。

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

ステップ 4.2.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

ステップ 4.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

ステップ 4.2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

ステップ 4.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$2 (2^{1} - 4)$

ステップ 4.2.2.2.5

指数を求めます。

$2 (2 - 4)$

ステップ 4.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$2$ から $4$ を引きます。

$2 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- \sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

累乗根で指数を約分し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$2 (2^{1} - 4)$

ステップ 4.3.2.2.4.5

指数を求めます。

$2 (2 - 4)$

ステップ 4.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$2$ から $4$ を引きます。

$2 \cdot - 2$

ステップ 4.3.2.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例