微分積分例

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $x^{2} - 2 (x - 3) x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2.2

$x$ を $- 2 (x - 3) x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.2.7.2.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

ステップ 1.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 1.1.3.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$x$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.4

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.6

$- (x - 6)$ を $- 1 (x - 6)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ です。

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 6}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x - 3}{x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 6$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$6$ を $x$ に代入します。

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{3}{6^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{36}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{36}$

ステップ 4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

ステップ 4.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{(0) - 3}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(6, \frac{1}{12})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例