微分積分例

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = 25 x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 x^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $25 x^{2} - 4$ で置き換えます。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $25 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.2.2

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 x^{2}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.2.4

$2$ に $25$ をかけます。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

ステップ 1.1.2.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.6.1

$50 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

ステップ 1.1.2.6.2

$50$ と $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ をまとめます。

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

ステップ 1.1.2.6.3

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3.2

$25$ に $50$ をかけます。

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.1.3.3.3

$50$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ です。

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$50 x$ を $1250 x^{3} - 200 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$50 x$ を $1250 x^{3}$ で因数分解します。

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

ステップ 2.3.1.1.2

$50 x$ を $- 200 x$ で因数分解します。

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

ステップ 2.3.1.1.3

$50 x$ を $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ で因数分解します。

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.3.1.2

$25 x^{2}$ を ${(5 x)}^{2}$ に書き換えます。

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.3.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.1.4

因数分解。

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ステップ 2.3.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5 x$ であり、 $b = 2$ です。

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

ステップ 2.3.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

ステップ 2.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.4

$5 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.4.1

$5 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 2 = 0$

ステップ 2.3.4.2

$x$ について $5 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$5 x = - 2$

ステップ 2.3.4.2.2

$5 x = - 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$5 x = - 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{5}$

ステップ 2.3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.5

$5 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.5.1

$5 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 2 = 0$

ステップ 2.3.5.2

$x$ について $5 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5 x = 2$

ステップ 2.3.5.2.2

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.6

最終解は $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

ステップ 3.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$25 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$25 x^{2} = 4$

ステップ 3.2.4

$25 x^{2} = 4$ の各項を $25$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$25 x^{2} = 4$ の各項を $25$ で割ります。

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{25}$

ステップ 3.2.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

ステップ 3.2.6

$\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$\sqrt{\frac{4}{25}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

ステップ 3.2.6.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

ステップ 3.2.6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

ステップ 3.2.6.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.6.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 3.2.6.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{5}$

ステップ 3.2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 3.2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2}{5}$

ステップ 3.2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $| 25 x^{2} - 4 |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

ステップ 4.1.2.1.2

$25$ に $0$ をかけます。

$| 0 - 4 |$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$| - 4 |$

ステップ 4.1.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 4$ と $0$ の間の距離は $4$ です。

$4$

ステップ 4.2

$x = - \frac{2}{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{2}{5}$ を $x$ に代入します。

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{5}$ に当てはめます。

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{2^{2}}{5^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.6

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

ステップ 4.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$| 4 - 4 |$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$| 0 |$

ステップ 4.2.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0$

ステップ 4.3

$x = \frac{2}{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{2}{5}$ を $x$ に代入します。

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

ステップ 4.3.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

ステップ 4.3.2.1.4

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

ステップ 4.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$| 4 - 4 |$

ステップ 4.3.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$| 0 |$

ステップ 4.3.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例