微分積分例

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x - 5}$ を ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = 2 x + 3$ および $g (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.1.3

${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{1}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.5.6.2

$2$ を ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x - 5$ とします。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x - 5$ で置き換えます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{{(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.12

総和則では、 $4 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.13

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.15

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.16

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0))}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.17

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.17.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4)}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.17.2

$\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{4}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.17.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.18

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.18.1

$2$ を $2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.18.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.18.3

式を書き換えます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.1

括弧を付けます。

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.2

$u_{2} = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.2.1

$2$ を $2 u_{2} \cdot u_{2} + 2 (- 2 x - 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.2.1.1

$2$ を $2 u_{2} \cdot u_{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.2.1.2

$2$ を $2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.2.2

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 ({u_{2}}^{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{\frac{2 ({({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.4.1.1

${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{1} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.1.2

簡約します。

$\frac{\frac{2 (4 x - 5 - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.2

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (2 x - 5 - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.3

$- 5$ から $3$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (2 x - 8)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{4 x + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.4.6

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{\frac{4 x - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.5

$4$ を $4 x - 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.2.5.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 (x) - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.5.2

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 x + 4 \cdot - 4}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.2.5.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.3.1

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$ を積として書き換えます。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 x - 5}$

ステップ 1.1.19.3.2

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{4 x - 5}$ をかけます。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x - 5)}$

ステップ 1.1.19.3.3

指数を足して ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に $4 x - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.3.3.1

${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に $4 x - 5$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.19.3.3.1.1

$4 x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 5)}^{1}}$

ステップ 1.1.19.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 1.1.19.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.19.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 1.1.19.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$4 (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4 (x - 4) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$4 (x - 4) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$x - 4$ を $1$ で割ります。

$x - 4 = \frac{0}{4}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$

ステップ 3.2

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ を ${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 x - 5)}^{3} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(4 x - 5)}^{3} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$4 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 5 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$4 x = 5$

ステップ 3.3.3.2.2

$4 x = 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

$4 x = 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

ステップ 3.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{4}$

ステップ 3.4

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(4 x - 5)}^{3} < 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$4 x - 5 < 0$

ステップ 3.5.3

不等式の両辺に $5$ を足します。

$4 x < 5$

ステップ 3.5.4

$4 x < 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$4 x < 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{5}{4}$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 (4) + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{11}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{11}{\sqrt{16 - 5}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$16$ から $5$ を引きます。

$\frac{11}{\sqrt{11}}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{11}{\sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ をかけます。

$\frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

ステップ 4.1.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$\frac{11}{\sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ をかけます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$\sqrt{11}$ を $1$ 乗します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

ステップ 4.1.2.4.3

$\sqrt{11}$ を $1$ 乗します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

ステップ 4.1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4.6

${\sqrt{11}}^{2}$ を $11$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{11}$ を $11^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{1}}$

ステップ 4.1.2.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

ステップ 4.1.2.5

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

ステップ 4.1.2.5.2

$\sqrt{11}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{11}$

ステップ 4.2

$x = \frac{5}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{5}{4}$ を $x$ に代入します。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

ステップ 4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{5 - 5}}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0}}$

ステップ 4.2.2.2.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0^{2}}}$

ステップ 4.2.2.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

ステップ 4.2.2.2.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, \sqrt{11})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例