微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 36 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 36 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{2} - 6 x - 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 36$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 6 x - 36$ です。

$12 x^{2} - 6 x - 36$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 6 x - 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $12 x^{2} - 6 x - 36$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) - 6 x - 36 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- x) - 36 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $- 36$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 6) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - x) + 6 (- 6) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (2 x^{2} - x) + 6 (- 6)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 1$ を $3$ プラス $- 4$ に書き換える

$6 (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (2 x + 3) (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $6 (2 x + 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{2}, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 6$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{3}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{3}{2}$ を $x$ に代入します。

$4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{27}{8}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 (\frac{- 27}{8}) - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{- 27}{4 (2)} - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$4 \frac{- 27}{4 \cdot 2} - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.5.4

式を書き換えます。

$\frac{- 27}{2} - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{27}{2} - 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{27}{2} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.7.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{27}{2} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{27}{2} - 3 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.9

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{27}{2} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.10

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{27}{2} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{27}{2} - 3 (\frac{9}{4}) - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.12

$- 3 (\frac{9}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.12.1

$- 3$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$- \frac{27}{2} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.12.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{27}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.14

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.14.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 3}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.1.14.2

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 3}{2} + 6$

ステップ 4.1.2.1.14.3

共通因数を約分します。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 3}{2} + 6$

ステップ 4.1.2.1.14.4

式を書き換えます。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 3 + 6$

ステップ 4.1.2.1.15

$- 18$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{27}{2} - \frac{27}{4} + 54 + 6$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- (\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 54 + 6$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{27}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 54 + 6$

ステップ 4.1.2.2.3

$54$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54}{1} + 6$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{54}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{54}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4} + 6$

ステップ 4.1.2.2.6

$6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.8

$\frac{6}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.2.9

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{27 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{54 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 54 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$- 27$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 54 - 27 + 54 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.2

$54$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 54 - 27 + 216 + 6 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.1.2.4.3

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 54 - 27 + 216 + 24}{4}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$- 54$ から $27$ を引きます。

$\frac{- 81 + 216 + 24}{4}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 81$ と $216$ をたし算します。

$\frac{135 + 24}{4}$

ステップ 4.1.2.5.3

$135$ と $24$ をたし算します。

$\frac{159}{4}$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$4 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 8 - 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$32 - 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$32 - 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$32 - 12 - 36 \cdot 2 + 6$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 36$ に $2$ をかけます。

$32 - 12 - 72 + 6$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$32$ から $12$ を引きます。

$20 - 72 + 6$

ステップ 4.2.2.2.2

$20$ から $72$ を引きます。

$- 52 + 6$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 52$ と $6$ をたし算します。

$- 46$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{3}{2}, \frac{159}{4}), (2, - 46)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例