微分積分例

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.8

$- 4$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.9

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.10

$2$ を $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.11

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.2.11.4

$- 6 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.3.3

$24$ に $1$ をかけます。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$13$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $13$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ です。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

ステップ 2.3

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4

指数を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1.1

積の法則を $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.1.1.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.1.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.1.1.4

簡約します。

$36 x = {(- 24)}^{2}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$36 x = 576$

ステップ 2.5

$36 x = 576$ の各項を $36$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$36 x = 576$ の各項を $36$ で割ります。

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{576}{36}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$576$ を $36$ で割ります。

$x = 16$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- 6 \sqrt{x} + 24$

ステップ 3.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 16$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$16$ を $x$ に代入します。

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.4

$4$ を $3$ 乗します。

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 4$ に $64$ をかけます。

$- 256 + 24 (16) + 13$

ステップ 4.1.2.1.6

$24$ に $16$ をかけます。

$- 256 + 384 + 13$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 256$ と $384$ をたし算します。

$128 + 13$

ステップ 4.1.2.2.2

$128$ と $13$ をたし算します。

$141$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(16, 141)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例