微分積分例

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 1.1.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.10

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 1.1.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 1.1.3.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{x^{3}} + 2$ です。

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 2.4

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = - 2 x^{3}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- 2 x^{3} = 2$ として書き換えます。

$- 2 x^{3} = 2$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

ステップ 2.5.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.5.3.1

$- 2$ を $- 2 x^{3} - 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.3.1.1

$- 2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

ステップ 2.5.3.1.2

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.5.3.1.3

$- 2$ を $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

ステップ 2.5.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

ステップ 2.5.3.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.4

因数分解。

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ステップ 2.5.3.4.1

簡約します。

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ステップ 2.5.3.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

ステップ 2.5.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

ステップ 2.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.6

$x^{2} - x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.6.1

$x^{2} - x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 2.5.6.2

$x$ について $x^{2} - x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.7

最終解は $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{2}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 2 - \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.1.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 - \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

$- 2 - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 1$

ステップ 4.1.2.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$- 3$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 (0) - \frac{1}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 3)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例