微分積分例

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{6}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{π}{6}$ を $x$ に代入します。

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$2$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 1.2.2

$\tan (2 (\frac{π}{6}))$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

ステップ 1.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

ステップ 1.2.2.1.3

式を書き換えます。

$y = \tan (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$y = \sqrt{3}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{6}$ と $y = \sqrt{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \sec^{2} (2 x)$

ステップ 2.3

$x = \frac{π}{6}$ で微分係数を求めます。

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

ステップ 2.4.1.2

共通因数を約分します。

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

ステップ 2.4.1.3

式を書き換えます。

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.4.2

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$2 \cdot 2^{2}$

ステップ 2.4.3

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.4.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{2}$

ステップ 2.4.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2}$

ステップ 2.4.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2^{3}$

ステップ 2.4.4

$2$ を $3$ 乗します。

$8$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $8$ と与えられた点 $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

ステップ 3.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

ステップ 3.3.1.4.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

ステップ 3.3.1.4.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.4.4

共通因数を約分します。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.4.5

式を書き換えます。

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

ステップ 3.3.1.5

$4$ と $\frac{- π}{3}$ をまとめます。

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

ステップ 3.3.1.6

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

ステップ 3.3.1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$\sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.3.2

$\sqrt{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.3.4

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.5

$- 1$ を $- 4 π$ で因数分解します。

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.3.6

$- 1$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 3.3.3.7

$- 1$ を $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 3.3.3.8

$- (4 π - 3 \sqrt{3})$ を $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ に書き換えます。

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 3.3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

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